. Distribuciones de
Probabilidad discreta y continua.
-Variable aleatoria. Sea E el espacio
muestral asociado a un experimento aleatorio. A cada suceso de dicho espacio se
le puede asignar un número de tal modo que a distintos sucesos les corresponden
distintos números. Pues bien llamamos Variable aleatoria definida sobre un
espacio muestral a una función que permite asignar a cada suceso de E un numero
real y sólo uno.
Tipos de variables
aleatorias: Discretas y Continuas
-Una variable es discreta cuando
entre dos valores consecutivos de la misma, la variable no puede tomar ningún
otro valor. (nº de caras de una moneda)
-Una variable es continua cuando
entre dos valores cualesquier de la misma, la variable puede tomar infinitos
valores (altura de los individuos de un colectivo).
Conviene precisar que las variables aleatorias continuas
deben considerarse como idealizaciones matemáticas, pues en la práctica los
instrumentos de media sólo posibilitan mediciones discretas.
Características de
las variables aleatorias DISCRETAS
1.- Función de
probabilidad.
Dada una variable aleatoria X construida sobre un espacio muestral E, llamamos
función de probabilidad definida sobre la variable aleatoria X, como la función
que hace corresponder a cada uno de los valores de la variable X, la probabilidad
de ocurrencia de dicho valor o suceso. Así:
F(xi)=P(X=xi)
f: X ---------- > [0,1]
xi----------
>P(X=xi)
Son
propiedades que cumple la función de probabilidad:
a)
f(xi)"0
b)f(xi) = 1
c) Si a <b<c son valores de la variable aleatoria
X, entonces
P(a"X"c)=P(a"X"b)+
P(b"X"c)
2.- Función de
distribución. Dada una variable
aleatoria X construida sobre un espacio muestral E, llamamos función de
distribución de dicha variable a aquella función que hace corresponder a cada
uno de los valores de la variable X, la probabilidad acumulada hasta ese valor.
Así:
F(xi)=P(X"xi)
F:X---------- > [0,1]
xi---------
> F(xi)= P(X"xi)
Son
propiedades que cumple la función de distribución:
F(-")=0
F(+")=1
F(x) es monótona creciente
P(a"X"b)= F(b)-F(a)
3.- Media, valor
esperado o Esperanza matemática. Dado un experimento
aleatorio, entendemos por media o esperanza matemática de una variable
aleatoria asociada a dicho experimento al valor al que tiende a estabilizarse,
cuando el experimento se repite un número elevado de veces. Se nota por E(X) y
es igual a la suma de los productos de cada uno de los valores de la variable
aleatoria por su función de probabilidad, así:
E(X)=
xif(xi)
Propiedades
de la Esperanza matemática:
a)
E(a)=a siendo a un valor constante.
b)
E(aX)= aE(X)
c)
E(a+X)= a+ E(X)
Ejemplo de Esperanza matemática. En una lotería que sólo
produce beneficios al ganador, ¿Cuál crees que debiera ser la Esperanza
matemática de la variable euros ganados en dicha lotería? La solución E(X)= 0
4.- Varianza y
desviación típica. La Varianza se define
como la Esperanza matemática de los cuadrados de las desviaciones de los
valores de la variable con respecto a su Esperanza matemática. Así
(X) = Var(X) = E[(X-E(X))²] = E(X²)-[E(X)]² siendo la desviación típica la raíz cuadrada de la varianza
Propiedades
de la varianza
L²(a) = 0 siendo a un valor constante
L²(a+X) = L²(X)
L²(a•X) = a²• L²(X)
Variables aleatorias
DICOTÓMICAS. Media y varianza de dichas variables.
Una variable aleatoria diremos que es dicotómica cuando dicha variable sólo puede tomar
dos valores distintos; x1=0 y x2=1. La función de probabilidad de una variable
dicotómica sería, si f(1)= p como Lf(xi) = 1, entonces
f(0)+f(1)= 1 y como f(1)=p, tendríamos que f(0)=1-p.
La esperanza matemática de
una variable aleatoria dicotómica en la que f(1)=p, sería:
E(X)=
0•(1-p) + 1•p = p
E(X²) = 0² • (1-p) + 1² • p = p y la varianza sería L²(X) = p - p² = p•(1 - p)
Variables aleatorias TIPIFICADAS. Media y varianza de
dichas variables.
Sea X una variable aleatoria cuya media o esperanza
matemática es E(X)=µ y la desviación típica
L(X) =L A partir de estos valores y de la variable aleatoria X
podemos construir una nueva variable Z cuyos valores se obtiene mediante la
siguiente expresión
X - µ
Z = ------
Esta
nueva variable tendrá una media igual a cero y una desviación típica igual a
uno.
E(Z) =E(------) = -- E(X - µ ) = -- [E(X) - µ] = 0, ya
que E(X) = µ
L²(Z) = E(z²) - [E(z)]² = E(z²) ya que E(z) = 0
luego
L²(Z) = E(z²) = E( ------)² = E[ ------] = -- E(X - µ)² = -- •L² = 1
Por tanto toda variable aleatoria tipificada tiene de
media cero y desviación típica uno.
Características de
las variables aleatorias CONTINUAS
1.- Función de
densidad de probabilidad. Es aquella función
que asigna a cada valor xi de la variable X la densidad de probabilidad de la
variable X en el punto xi. Así
f(xi) = P(X=xi)
Propiedades:
f(x) " 0
"f(x) dx = 1
2.- Función de
distribución. Es aquella función
que asigna a cada valor de la variable X su probabilidad acumulada.
F(xi) = P(X"xi)
Propiedades:
F(-") = 0
F(+") = 1
F(x) es monótona creciente
P(a " x " b) = F(b) - F(a)
3.- Valor Esperado. E(x) = "xi•f(x) dx
4.- Varianza.
(X) = E(X²) - [E(X)]² = "xi²•f(x) dx - ("xi²•f(x) dx)²
Ejemplos de Varianza:
Propiedades de la
varianza
· Si todos los datos se multiplican por una
constante, la varianza queda multiplicada por el cuadrado de la constante.
· σ2≥ La varianza es un valor positivo, como ya
se ha comentado anteriormente, la igualdad sólo se da en el caso de que todas
las muestras sean iguales.
· Si a todos los datos se les suma una
constante, la varianza sigue siendo la misma.
Ejemplo 1
En la Facultad de
medicina en un examen de Bioestadistica correspondiente al III Parcial que
estaba muy difícil, todos los alumnos de la clase sacaron 01. Hallar la
varianza de las notas.
Al coincidir
todos los valores la media coincide también con ellos x¯=01, y la varianza es
nula σ2=0.
Ejemplo 2
En un estudio estadístico
realizado en la población merideña sobre Enfermedades de Transmisión Sexual asistieron
personas con edades comprendidas: 3, 4, 7,9, 10, 15, 20 y 38. Calcular la
varianza de las edades.
Aplicando la
fórmula x¯=3+4+7+9+10+15+20+38=106=13.25
es la media de las edades.
Seguidamente se
aplica la fórmula de la varianza:
σ2=(3−13.25)²0.125+(4−13.25)²0.125+(7−13.25)²0.125+(9−13.25)²0.125+(10−13.25)²0.125+(15−13.25)²0.125+(20−13.25)²2+(38−13.25)²
0.125=
=13.13+10.70+4.88+2.26+1.32+0.38+5.70+76.57=
=114.94 es la
varianza, o sea la variacion en unidades cuadraticas de la edad de los
individuos.
Desviacion Tipica
Algunos ejemplos, recordando que la desviacion tipica es la raiz cuadrada de la varianza.
Ejemplo:
1.- Del cálculo de la varianza de las edades de cinco estudiantes universitarios de la facultad de Medicina se obtuvo δ2=36 como la desviación estándar es la raíz cuadrada positiva, entonces δ = √36 = 5
2. La varianza de encontrar un guante roto en una caja de guantes en el hospital de los andes es δ²=0.7956. La desviación estandar seria la raiz cuadrada, entonces δ = √0.7956 es igual a 0.8920, que representa la variabilidad para encontrar un guante roto en una caja en el hospital de los andes.
Distribuciones de Probabilidad
Son importantes porque se plasma de una manera clara los datos del estudio, utilizando a su vez la fuerza y apoyo exacto de los números y matemáticas, para expresar trabajos de forma clara y figurar los datos en forma cómoda para la vista en cuadros y gráficos, rigiéndose por normas establecidas y por formulas.
Es
una función de probabilidad o de densidad de probabilidad, definida sobre un
conjunto de sucesos exhaustivos y mutuamente excluyentes.
Estas distribuciones de probabilidad
son teóricas y desconocidas en general, para muchas variables aleatorias.En el
caso que se conozca la distribución de probabilidad, podemos averiguar la
distribución de frecuencias que cabe esperar que se obtenga en una muestra de
tamaño “n” extraída de dicha población. Si f(x) es la probabilidad asociada a
un intervalo, la frecuencia que cabe esperar que se presente dicho intervalo
cuando se elige una muestre de tamaño “n” sería nf(x)
Modelos
de Distribución de Probabilidad.
Distribución muestral: A partir del muestreo repetido, es una
descripción matemática de todos los resultados posibles de los eventos
muestrales y la probabilidad de cada uno.
Distribución binomial
Un experimento
aleatorio sigue el modelo binomial si cumple:
En cada prueba del experimento solo son
posibles dos resultados, a uno de ellos se le suele llamar éxito y
al otro fracaso (carácter mutuamente excluyente de ambos).
El resultado obtenido en cada prueba del experimento es independiente de los resultados obtenidos en las
pruebas anteriores.
La probabilidad de ocurrencia de cada uno de
los dos resultados posibles es constante, y por tanto, no varía de una prueba
del experimento a otra; la probabilidad de uno de ellos suele representarse por p y la de su contrario por q (p + q = 1)
La variable
binomial es una variable discreta, pues solo puede tomar los valores 0, 1, 2, …, n.
Para indicar que X es una variable binomial de parámetros n y p, escribiremos
B(X, n, p)
X es la Variable binomial, n representa el número de repeticiones
del experimento y p la probabilidad del suceso llamado
éxito, que es constante en todas las pruebas del experimento.
Dado que la tabla, por ser una función
de distribución, lo que da es la P (X " x), si queremos calcular la P(X =
x) hemos de restar a la probabilidad de que X sea menor o igual a x, la
probabilidad de que X sea menor o igual a x -1.
Así: P(X = x) = P
(X " x)- P (X " x-1)
Tiene:
media n•p ----------- varianza n•p•q.
2. La distribución normal.
El modelo de
distribución de probabilidad para variables continuas más importante es la
distribución normal. La gráfica de su función de probabilidad es la campana de
Gauss.
Al tratarse de una
distribución simétrica unimodal, la media, la moda y la mediana coinciden.
Cuando una variable tiene una función de probabilidad cuya gráfica sea la de la
figura diremos que dicha variable sigue una curva Normal de media µ y desviación típica
, se expresa asíN (µ,). Cuanto mayor sea
la desviación típica, más aplastada será la función de probabilidad.
En toda distribución normal en el
intervalo de extremos:
-La media menos la desviación típica,
la media más la desviación típica se encuentra el 68.3% de la distribución.
P(µ-1<X< µ+1
)=0.683
-La media menos dos veces la
desviación típica, la media más dos veces la desviación típica se encuentra el
95.5% de la distribución.
P(µ-2<X< µ+2
)=0.955
-La media menos tres veces la
desviación típica, la media más tres veces la desviación típica se encuentra el
99.7% de la distribución.
P(µ-3<X< µ+3
)=0.997
Al estudiar la
función de distribución de una variable continua, el calcular la probabilidad
de que la variable tome un valor dentro de un intervalo equivale a calcular el
área de la región limitada por la gráfica de la función de probabilidad, los
extremos del intervalo y el eje de abscisas.
En el caso de que
el valor dado sea menor que cero o que deseemos conocer el porcentaje de casos
superiores a uno dado (área a la derecha) utilizaremos la simetría de la
distribución normal. En los casos en que la variable no tenga media cero o
desviación típica uno, habrá previamente que tipificarla para transformarla en
una nueva variable cuya media sea 0 y su desviación típica sea 1. La variable
tipificada suele representarse por la letra Z y sus valores por z.
